Już Amper zauważył, że gdy przewodnik jest ustawiony prostopadle do linii sił pola magnetycznego, w samym przewodniku zaczyna płynąć prąd.
Przy czym wektor prędkości musi być prostopadły zarówno do linii pola magnetycznego, jak i kierunku prądu. Czyli w rzeczywistości mamy trzy siły prostopadłe do siebie, przechodzące jedna w drugą w zależności od warunków eksperymentu. A co jeśli jedna z sił, na przykład magnetyczna, zostanie utworzona przez falę stojącą, której utrzymanie wymaga minimalnego nakładu energii? W tym artykule postaramy się odpowiedzieć na to pytanie.
1. Obszar amplitudy przesunięcia fali stojącej
Spójrz na dwa przykłady – przykład 1 i przykład 2 – W obu przypadkach obserwujemy falę stojącą, ale w pierwszym przypadku fala jest wizualnie stojąca, a w drugim porusza się. Więcej szczegółów na temat procesu przekształcania fal poprzecznych w fale podłużne można znaleźć tutaj.
Ponieważ animacja jest zbudowana tak blisko rzeczywistych linii, jak to możliwe, będziesz musiał chwilę poczekać na przykładowej stronie, aż animacja będzie nieruchoma.
Dla niektórych zadań konieczne jest wyznaczenie wielkości takiego ruchu, a ponieważ fala jest przemieszczana przez cały obszar, oczywiste jest, że konieczne będzie jej znalezienie. Uwarunkujmy to dalej obszarem przemieszczenia fali, który nazwiemy PFS, a wybiegając naprzód powiemy, że w pewnych warunkach wartość ta jest liczbowym wyrażeniem tzw. energii swobodnej. Najpierw jednak wprowadzimy definicję fali, a następnie znajdziemy jej PFS.
Równanie fali stojącej
Aby przedstawić impuls w długiej linii (DL), użyjemy jego standardowego wyrażenia dla padającej fali A1 i odbitej fali A2 [1].
\(A_1 = \frac{a}{2} \sin(\omega t – k x), \qquad A_2 = \frac{a}{2} \sin(\omega t + k x) \qquad (1.1)\)
Równolegle rozważymy również wersję cosinusową:
\(A_1 = \frac{a}{2} \cos(\omega t – k x), \qquad A_2 = \frac{a}{2} \cos(\omega t + k x) \qquad (1.2)\)
gdzie: a to amplituda fali, ω to częstotliwość kołowa, t to czas, k to mnożnik przestrzenny, x to odległość. Ponieważ w dalszych obliczeniach będziemy używać jednostek względnych, ω=k=2π . Ponadto w tych obliczeniach założymy, że DL jest idealna, bez tłumienia. Następnie wynikowe równania fali stojącej zostaną wyrażone w następujący sposób:
\(A = A_1 + A_2 = \frac{a}{2} (\sin(\omega t – k x) + \sin(\omega t + k x)) = a\cos(k x)\sin(\omega t) \qquad (1.3)\)
\(A = A_1 + A_2 = \frac{a}{2} (\cos(\omega t – k x) + \cos(\omega t + k x)) = a\cos(k x)\cos(\omega t) \qquad (1.4)\)
Przykład fali opisanej równaniem (1.4), która jest półfalą DL, można znaleźć tutaj. Dla naszych zadań będziemy potrzebować złożonej formy pędu, więc dla większego uogólnienia przedstawimy go jako szereg Fouriera. Na razie rozważymy jego szczególny przypadek, rozkład sinusoidalny i cosinusoidalny. Tak więc równanie sinus i cosinus fali stojącej w bardziej ogólnym przypadku będzie następujące:
\(A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \sin(i\omega t)) \qquad (1.5)\)
\(A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \cos(i\omega t)) \qquad (1.6)\)
gdzie \(N\) jest liczbą harmonicznych, \(a_i\) jest amplitudą i-tej harmonicznej. Teraz możemy reprezentować bardziej złożone impulsy, takie jak te.
PFS
Następnie musimy znaleźć obszar przemieszczenia fali, która pokonuje ścieżkę wzdłuż DL podczas podróży w czasie. Oznaczamy go symbolem \(S\). Jego wartość musi być proporcjonalna do przemieszczenia całego obszaru impulsu w przestrzeni i czasie. Jeśli impuls jest stacjonarny w przestrzeni i zmienia się tylko w czasie, wartość \(S\) musi być równa zeru.
Poniższy rysunek przedstawia ten sam impuls, ale dla dwóch różnych wartości czasu (1) i (2), Impuls tworzy falę stojącą w DL, więc długość DL \(\lambda\) może przyjmować wartości 1/4,1/2,3/4,1 .. itd.
Będziemy szukać zmienności obszaru fali w czasoprzestrzeni w tej formie:
\(\Delta S’ = \sum_i {\Delta A_x \over \Delta x } \Delta A_t \qquad (1.7)\)
gdzie: \(\Delta A_x\) jest zmianą amplitudy impulsu w punkcie x, \(\Delta x\) jest zmianą współrzędnej przestrzennej w tym punkcie, \(\Delta A_t\) jest zmianą amplitudy impulsu przy przesunięciu o \(\Delta t\), i jest indeksem, który przechodzi przez wszystkie wartości osi przestrzennej, od zera do \({\lambda \over \Delta x }\). W takim przypadku prawdziwe jest również wyrażenie odwrotne:
\(\Delta S’ = \sum_i {\Delta A_t \over \Delta t } \Delta A_x\)
Przechodząc do różniczkowania i całkowania, otrzymujemy następujące wyrażenie:
\(d S’ = \int_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x } \partial A_t = \int_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dt \qquad (1.8)\)gdzie: \({\partial A_x \over \partial x}, {\partial A_t \over \partial t}\) są pochodnymi cząstkowymi we współrzędnych przestrzennych i czasowych. Następnie całkowita PSF zostanie znaleziona w następujący sposób [2]:
\(S = \iint_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dx\,dt \qquad (1.9)\)Normalizacja PFS
Aby dowiedzieć się, który kształt impulsu daje większy PFS, musimy go znormalizować. W tym celu użyjmy twierdzenia Parsevala [3] dla szeregów Fouriera i znajdźmy normalizator:
\(\Psi = \iint_0^1 A(x,t)^2 \, dx\,dt \qquad (1.10)\)Stąd teraz nasza pożądana formuła będzie wyglądać następująco:
\(\bar S = \frac {S} {\Psi} = \frac {\iint_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dx\,dt} {\iint_0^1 A(x,t)^2 \, dx\,dt} \qquad (1.11)\)Należy powiedzieć, że \(\bar S\) jest wygodną wartością względną do porównań. Na przykład dla klasycznego transformatora Tesli [4], gdzie \( \lambda = \frac14\) i tylko jedna pierwsza harmoniczna, \(\bar S = 1\) (przykład). Oznacza to, że możemy porównać wszystkie inne PFS z tym konkretnym przypadkiem. Dla \(\lambda = \frac12\) i dwóch pierwszych harmonicznych o tej samej amplitudzie, \(\bar S = 7\) – tutaj możemy wyraźnie zobaczyć ruch fali wzdłuż DL (przykład). Jeśli dodamy więcej harmonicznych, a tym samym jeszcze bardziej wzmocnimy ruch fali, możemy uzyskać jeszcze wyższą wartość \(\bar S\). Na przykład w tym wariancie \(\bar S = 64\).
\(S\) i \(\bar S\) będą zawsze przyjmowane modulo, ponieważ zależy nam na względnej, a nie bezwzględnej wartości tej wielkości. Moduł nie jest pokazany we wzorach, ale jest implikowany.
Obliczenia według wzoru (1.11) można najłatwiej wykonać w edytorze matematycznym, np. MathCAD. Program dla tego edytora i wzoru można znaleźć tutaj. Dla \(N=10\) edytor ten, na komputerze z procesorem 2,2 GHz, oblicza wzór (1.11) w 12 sekund, dla \(N=15\) – w 25 sekund. Następnie pokażemy uproszczony wzór dla jednego konkretnego przypadku, ale który jest obliczany przez komputer w milisekundach.
Półfalowa DL
Używając wzoru (1.11) możemy znaleźć względne obszary przemieszczenia dla dowolnych sygnałów, ale ponieważ będziemy zainteresowani tylko impulsami w postaci (1.5) lub (1.6), możemy zawęzić problem i znaleźć prostsze równanie dla jednego wspólnego przypadku specjalnego.
Przy \(\lambda = \frac12\) w DL powstaje tryb półfalowy, dla którego prostszą postać uzyskuje się ze wzoru (1.11). Dla fali (1.5) uproszczony wzór będzie następujący:
\(S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^3 (i-1) \over 4i^2-1} \quad \qquad (1.12)\)Dla fali (1.6) wygląda to następująco:
\(S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \quad \qquad (1.13)\)Działają one z dokładnością do 10% w zakresie \(N \le 12\). Ze wzorów wynika w szczególności, że \(S\) wynosi zero, jeśli widmo impulsu zawiera tylko jedną harmoniczną (przykład, przykład) lub jeśli widmo zawiera tylko nieparzyste harmoniczne (przykład). Jak widać z tych przykładów, fala w DL nie porusza się. Z dalszych stwierdzeń będzie wynikać, że nieparzyste harmoniczne są odpowiedzialne za stromość spadku i wzrostu impulsu, a parzyste harmoniczne są odpowiedzialne za ruch fali w DL. Podamy również przykład z parzystymi i nieparzystymi harmonicznymi, w którym ruch fali jest już wyraźnie widoczny.
Normalizujemy przybliżone formuły
Ze wzoru (1.10) bierzemy regułę normalizacji i wyprowadzamy ją dla pędów (1.5) i (1.6):
\(\Psi = \frac14 \sum_{i=1}^N a_i^2 \qquad (1.14)\)Zatem ogólny wzór przybliżony dla przypadku \(\lambda = \frac12\) i fali (1.5) będzie następujący:
\(\bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^3 (i-1) \over 4i^2-1} \over \sum_{i=1}^N a_i^2} \qquad (1.15)\)a dla fali (1.6) jest taka:
\(\bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \over \sum_{i=1}^N a_i^2} \qquad (1.16)\)Jeśli wszystkie \(a_{i}\) są takie same, wówczas formuły całkowicie się upraszczają:
\(\bar S \approx {32 \over N} \sum_{i=1}^{N} { i^3 (i-1) \over 4i^2-1 } \qquad (1.17)\)
\(\bar S \approx {32 \over N} \sum_{i=1}^{N} { i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \qquad (1.18)\)
Ze wzorów (1.17, 1.18) wynika, że wartości PFS dla przebiegów sinusoidalnych i cosinusoidalnych są nieco inne.
Jeśli liczba harmonicznych o równej amplitudzie jest wystarczająco duża \(N \ge 12\), PFS dla przebiegów sinusoidalnych i cosinusoidalnych stają się w przybliżeniu równe, a wzór upraszcza się dalej [5]:
\(\bar S \approx \frac43 (2N + 1)(N + 1) \qquad (1.19)\)Należy pamiętać, że przybliżone wzory (1.12-1.19) zostały wyprowadzone dla szczególnego przypadku \(\lambda = \frac12\), który rozważymy dalej. Dla impulsu quasi-prostokątnego podano tutaj obliczenia PFS.
Autor: Wiaczesław Gorchilin – tłumaczenie DQ – orginał na stronie: https://gorchilin.com/articles/free/magnetic